一、刑事批准逮捕權是哪個機關的？
刑事批准逮捕權是屬於人民檢察院和人民法院的。
提請批准逮捕書是公安機關對有證據證明有犯罪事實且有逮捕必要的犯罪嫌疑人，應當追究刑事責任時，提請同級人民檢查院審查批准逮捕時製作的法律文書。
批准逮捕應該由檢察院作出，公安機關執行，公安機關沒有作出逮捕的權力，公安機關不能批准逮捕。
《刑事訴訟法》第六十六條規定：公安機關要求逮捕犯罪嫌疑人的時候，應當寫出提請批准逮捕書，連同案卷材料、證據，一併移送同級人民檢察院審查批准。必要的時候，人民檢察院可以派人蔘加公安機關對於重大案件的討論。
第六十七條 人民檢察院審查批准逮捕犯罪嫌疑人由檢察長決定。重大案件應當提交檢察委員會討論決定。
二、刑事逮捕之後是不是就立案了？
不一定，還要經過審查起訴程式，確定是否提起公訴。
審查起訴是指人民檢察院對公安機關偵查終結移送起訴的案件和自行偵查終結的案件進行審查，依法決定是否對犯罪嫌疑人提起公訴、不起訴或者撤銷案件的訴訟活動。提請批准逮捕書是公安機關對有證據證明有犯罪事實且有逮捕必要的犯罪嫌疑人，應當追究刑事責任時，提請同級人民檢查院審查批准逮捕時製作的法律文書。
《刑事訴訟法》第六十六條規定：公安機關要求逮捕犯罪嫌疑人的時候，應當寫出提請批准逮捕書，連同案卷材料、證據，一併移送同級人民檢察院審查批准。必要的時候，人民檢察院可以派人蔘加公安機關對於重大案件的討論。
第六十七條 人民檢察院審查批准逮捕犯罪嫌疑人由檢察長決定。重大案件應當提交檢察委員會討論決定。
人民檢察院作出批准逮捕之後的決定並不能說明該案件已經立案了，同時還需要經過公安機關的偵查之後才可以決定是否進行立案處理的。人民法院做出的批准逮捕決定是發生在人民法院進行審判的時候，被告沒有出席的情況下的。
