肇事司機全責,不肯墊付醫藥費是違法行為。可以自己先行付上醫藥費，拿著繳費單據到人民法院起訴。根據《最高人民法院關於審理人身損害賠償案件適用法律若干問題的解釋》的規定，肇事者全責，造成受害者人身傷害的，必須給予賠償。包括醫療費，醫藥費，誤工費等等。也就是說肇事者必須賠償。不賠可以直接起訴。
【法律依據】
《最高人民法院關於審理人身損害賠償案件適用法律若干問題的解釋》第十七條，受害人遭受人身損害，因就醫治療支出的各項費用以及因誤工減少的收入，包括醫療費、誤工費、護理費、交通費、住宿費、住院伙食補助費、必要的營養費，賠償義務人應當予以賠償。
