起訴撫養權的過程是：
1.準備與撫養權相關的證據，帶好起訴狀提交給人民法院；
2.法院決定是否受理，受理後及時通知雙方當事人；
3.被告準備相應的材料以及答辯狀；
4.法院安排進行開庭，經過法庭辯論等程式依法作出判決。
【法律依據】根據《民法典》第一千零八十四條：父母與子女間的關係，不因父母離婚而消除。離婚後，子女無論由父或者母直接撫養，仍是父母雙方的子女。離婚後，父母對於子女仍有撫養、教育、保護的權利和義務。離婚後，不滿兩週歲的子女，以由母親直接撫養為原則。已滿兩週歲的子女，父母雙方對撫養問題協議不成的，由人民法院根據雙方的具體情況，按照最有利於未成年子女的原則判決。子女已滿八週歲的，應當尊重其真實意願。
