私下自願變更撫養權可以嗎

可以。
《關於人民法院審理離婚案件處理子女撫養問題的若干具體意見》第十七條規定：父母雙方協議變更子女撫養關係的，應予准許。因此，一旦離婚夫妻雙方對變更撫養權事項達成一致意見，雙方可以自行私下簽訂變更子女撫養權協議，把變更撫養權的事實在協議書上寫清就行，只要協議合法，是雙方真實意願，一經雙方簽字即有效。