父親可以私下訂立遺囑給私生子遺產。法律規定非婚生子女享有與婚生子女同等的權利，任何人不得加以危害和歧視。所以非婚生子女應該和婚生子女享有同等的繼承權。
【法律依據】
《民法典》第一千零七十一條第一款，非婚生子女享有與婚生子女同等的權利，任何組織或者個人不得加以危害和歧視。
第一千一百三十三條，自然人可以依照本法規定立遺囑處分個人財產，並可以指定遺囑執行人。
自然人可以立遺囑將個人財產指定由法定繼承人中的一人或者數人繼承。
自然人可以立遺囑將個人財產贈與國家、集體或者法定繼承人以外的組織、個人。
自然人可以依法設立遺囑信託。
